% Section Partie 2 - SAE 2.02

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\begin{document}

\section{Partie 2}

  \subsection{Question 1}
    \par\quad \dots

  \subsection{Question 2 et 4}

    \par\quad Interressons-nous maintenant au calcul de la complexité de chaque algorithmes. Un calcul de omplexité s'effectue en comptabilisant le nombre d'actions que le processeur doit effectuer. Cependant, pour effectuer un tel calcul, il faudrait comptabiliser la totalité des actions effectuées par l'ensemble des bibliothèques utilisées dans les algorithmes. Nous n'avons pas besoin d'aller aussi loin, notamment car dans ce cas, ce calcul changerait en fonction d'un language à un autre, d'un compilateur à un autre, ou encore d'un interpréteur à un autre. Nous allons donc nous intéresser uniquement au nombre de lignes executés par les programmes en fonction de parmamêtres donnés.


    \subsubsection{Analyse de l'algorithme n°1}

    \par\quad Pour ce qui est du premier algorithme proposé, nous pouvons déjà comptabiliser les 4 actions effectuées par la fonction annexe $echanger$. Ajoutons-y les 4 créations de variables en début d'algorithme. On remarque que les instructions d'après sont bouclées en fonction de paramètres variables. On en déduit donc que nous avons déjà 4 instructions fixes et 4 autres que l'on multiplira par le nombre de fois que la fonction $echanger$ est appelée.

    \par\quad La première boucle $while$, qui est la boucle principale, tourne tant que la variable $echange$ est à $1$. Cette variable comptabilise le nombre d'échanges de valeurs qui est effectué pour ordonner le tableau. Notre équation de complexité se construit donc avec la forme : 
      \[4+N*(4+P)\]
    \quad où $N$ est le nombre de fois que la boucle tourne et $P$ le nombre d'actions effectuées dans cette boucle.

    \par\quad Dans cette boucle $while$, on trouve deux boucles $for$ pour trier les valeurs du début et de la fin. En analysant l'algorithme caractérisant ces boucles, on en déduit que celui-ci tri le tableau en mettant, pour chaque tours de boucle $while$, l'élement le plus petit en premier, et le plus grand à la fin. $P$ est donc de complexité $N*2$. On peut alors en déduire que au pire, la complexité de cet algorithme est de :
      \[4+N*(4+(N*2))\]. 

    \par\quad En conclusion, on trouve que cette fonction est de complexité quadratique $(o(N^{2}))$. Cette algorithme ne comporte pas vraiment d'avantages et son gros inconvéniant est que sa complexité est exponentielle : elle augmente de plus en plus vite. Il serait donc très compliqué de trier un très grand nombre de valeurs avec. Cependant, elle peut fonctionner sur de petits nombres de valeurs.


    \subsubsection{Analyse de l'algorithme n°2}

    \par\quad Maintenant, analysons le second algorithme. Pour celui-ci, nous omettrons l'analyse des instructions fixes, car la réelle compléxité des algorithme se base notamment sur les tours de boucles au sein du programme.

    \par\quad La première boucle sert à récupérer les valeurs maximales du tableau. Le nombre de tours que celle-ci effectue est donc égale à la taille du tableau. Appelons cette taille $N$.

    \par\quad L'instruction $calloc$ qui suit cette boucle initialise un tableau de pointeur en initialisant toute les valeurs par defaut à $NULL$. Ce tableau est composé de toutes les valeurs possibles entre la valeur minimale du tableau, et la valeur maximale. C'est-à-dire, si la valeur maximale est 7 et la valeur minimale est 4, ce tableau sera composé de 3 cases. La complexité de cette instruction est donc dépendante de l'écart entre ces deux valeurs. Appelons cette écart $P$.

    \par\quad La seconde boucle $for$ compte le nombre de valeurs identiques et stocke ce nombre dans le tableau compteur décrit juste avant. Cette boucle tourne autant de fois qu'il y a de valeurs dans le tableau, c'est à dire : $N$ fois.

    \par\quad Viens enfin la dernière boucle $for$. On retrouve à l'intérieur de celle-ci une boucle $while$, qui tourne tant que le nombre sur lequel pointe le compteur ne vaut pas 0. Le compteur compte le nombre de récurences d'un nombre dans le tableau donc au maximum cette boucle fera $N+P$ tours au total, en comptant les tours de la boucle $for$ dans laquelle elle se trouve.

    \par\quad L'équation final se présente comme :
      \[N+P+N+N+P=3N+2P\]
    La complexité de l'algorithme est donc d'ordre : $o(N)$, c'est à dire une complexité linéaire. Le gros avantage de cet algorithme est que son nombre d'opération augmente proportionnellement en fonction du nombre d'élèments à trier. Cependant, son point faible se situe au niveau de l'écart de valeur qu'il peut y avoir dans la plage de données. Un trop grand écart de valeur resulterait à un très grand nombre $P$, nombre qui finalement peut avoir plus d'importance dans le calcul de cette complexité.


    \subsubsection{Analyse de l'algorithme n°3}

    \par\quad Interessons nous enfin au troisième algorithme proposé. Tout comme pour la seconde analyse, nous omettrons l'analyse du nombre d'actions fixes.

    \par\quad Regardons tout d'abord la complexité de la fonction de recherche de position : $recherchePos$. Cette fonction contient une boucle $for$ qui, au pire effectue $P$ instructions, $P$ étant passé en second paramètre. En effet, la boucle est prévue pour tourner $P$ fois, mais suivant la réussite de la condition placé à l'intérieur, elle peut se terminer prématurémant.

    \par\quad Maintenant, si l'on regarde la fonction principale de cet algorithme, on remarque une boucle $for$ majeure, paramètrée pour boucler $N$ fois, $N$ étant le nombre d'éléments du tableau à trier. Dans cette boucle, la première chose qui est faite est d'appeler la fonction $recherchePos$, avec en second paramètre une valeur incrémentée de $0$ à $N$ à chaque passage de boucle.
    \quad On déduit donc que le calcul de complexité maximale à ce moment est de :
      \[\frac{1}{2}N(N+1)\]
    \quad Le principe de l'algorithme à ce moment est de parcourir tout les éléments du tableau et de rechercher leur position idéale.

    \par\quad Ensuite, nous avons la présence d'une condition. Celle-ci teste simplement si l'élèment est oui ou non dans la position idéale considérant que ce tableau est trié. Elle renvoie sur une boucle le cas échéant. Cela veut dire que dans le pire des cas, c'est-à-dire le cas où aucun élément n'est dans sa position idéale, elle renvoie $N$ fois sur cette boucle.

    \par\quad Analysons enfin cette dernière boucle. Celle-ci boucle autant de fois qu'il y a d'écart entre le énième élément du tableau et sa position idéale. Au maximum, cette valeur peut donc s'élever à $N-1$ et décroit au fûr et à mesure que l'on avance dans la boucle principale.
    \quad On a donc pour cette boucle, une complexité maximale s'exprimant par :
      \[\frac{1}{2}N(N+1)-1\]
    \quad Ici, le principe est de décaler toutes les valeurs pour insérer à l'emplacement idéal l'élèment courrant.

    \par\quad Nous pouvons donc maintemant déduire l'équation générale de la compléxité maximale de ce troisième algorithme :
      \[(\frac{1}{2}N(N+1))(\frac{1}{2}N(N+1)-1)=\frac{1}{4}N(N+1)(N^{2}+N-2)\]
    \quad On remarque donc la complexité exponantielle de cet algorithme, $o(N^{4})$ qui est la plus importante complexité des trois analyses. Cependant, ce n'est pas forcément un algorithme mauvais car il ne s'agit là que de la complexité "au pire". En effet, dans la majeure partie des cas, plusieurs valeurs sont à leur place, et donc cette complexité à tendance à baisser aussi vite qu'à monter. L'avantage est donc que, avec un tableau quasiment trié, cette fonction sera plus rapide que les autre. Dans d'autre cas, elle sera largement plus lente. Donc si l'on ne connaît pas les arrangements de valeurs au préalable du tableau qu'on lui passe, c'est un peu comme si on pariait sur la rapidité de cet algorithme.



  \subsection{Question 3}
    \par\quad \dots

    
\end{document}